Le Rubik's cube

relançer la mode du rubik's cube ? pourquoi pas :)

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Calcul du nombre de combinaisons.

Remarquons que dans la rotation d'une face, un cube sommet devient un autre cube sommet, un cube arête un autre cube arête

Calcul sur les cubes sommets :
Ainsi les cubes sommets ne se mélangent qu'entre eux et il en va de même des cubes arêtes. Il y a 8 cubes sommets et 8 positions sommets. On peut amener un cube sommet en n'importe quelle position sommet. Il y a donc 8 façons de remplir la position sommet n° 1, 7 pour la position sommet n° 2, 6 pour le n° 3 ainsi de suite; il y a donc n 1 = 8x7x6x5x4x3x2x1 = 8! possibilités de distribuer les cubes sommets dans les positions sommets. Or chaque cube sommet a 3 orientations possibles. Comme on a 8 sommets, il faut donc multiplier le nombre n1 par 38 pour obtenit le nombre n2.

Calcul sur les cubes arêtes :
Pour les cubes arêtes, de façon analogue on a n3 = 12! façons de les permuter (puisque il y a 12 arêtes). Comme chaque cube a 2 positions possibles et qu'il y a 12 arêtes, il faut multipler n3 par 212 pour obtenir n4. Les cubes centraux sont fixes donc n'interviennent pas dans le calcul. On obtient provisoirement n5 = n2*n4 = 8! x 38 x 12! x 212 = 519 024 039 293 878 272 000 combinaisons possibles. (environ 500 milliards de milliards).

Mais le raisonnement n'est pas fini et il y a moins n5 combinaisons.
Contraintes. En effet il y a une contrainte sur l'orientation des cubes ; si on fixe l'orientation de 7 cubes sommets, alors celle du 8 ième sommet est parfaitement déterminé. Il faut donc diviser n5 par 3 pour obtenir n6 puisque il y a 3 orientations possibles pour un cube sommet. De même l'orientation des 11 cubes arêtes détermine celle du 12 ième arête. Il faut donc diviser n6 par 2 puisque il y 2 orientations possibles pour un cube arête. On obtient n7 possibilités. n7 = 8! x 38 x 12! x 212 /2/3.
Une dernière contraine : une fois tous les cubes bien positionés sauf 2, l'emplacement des ces deux derniers cubes est alors imposé donc il y 2 fois moins de combinaisons possibles. En définitive, il faut donc diviser le nombre n7 par 2. Ces contraintes nous ont amené à diviser n5 par 2 puis par 3 et enfin par 2 c'est à dire par 12.

On obtient par conséquent N= n5/12 possibilités. N=519 024 039 293 878 272 000 : 12 = 43 252 003 274 489 856 000 exactement.

On ne parlera pas du nombre de combinaisons du cube 4x4x4 :)